Demostracion del teorema de la incompletitud de Gödel
MAQUINA GÖDELIANA.
De las muchas máquinas matemáticas que he utilizado para
ilustrar la famosa prueba de Gödel, la siguiente es la más sencilla.
La máquina imprime distintas expresiones que se componen de cuatro
símbolos: I, N, R, *. Se considera IMPRIMIBLE cualquier expresión que la
máquina puede imprimir. FRASE es cualquier expresión de una de las cuatro
formas: (1) I*X; (2) NI*X; (3) IR*X; y (4) NIR*X, donde X es cualquier
expresión construida a partir de los cuatro símbolos. Cada frase se
interpreta como sigue: (1) I*X se considera VERDADERA si y sólo si X es
imprimible; (2) NI*X se considera VERDADERA si y sólo si X no es imprimible
(N es una abreviatura de NO así como I es una abreviatura de IMPRIMIBLE);
(3) IR*X se considera VERDADERA si y sólo si XX es imprimible (XX se
denomina REPETICION de X, de ahí la letra R); y (4) NIR*X se considera
VERDADERA si y sólo si XX no es imprimible.
Partimos de la base de que la máquina es completamente precisa, es decir,
cualquier frase impresa por la máquina es una frase verdadera. ¡El problema
consiste en encontrar una frase verdadera que la máquina no pueda imprimir!
SOLUCION AL PROBLEMA DE LA MAQUINA GÖDELIANA.
La frase NIR*NIR* dice que la
repetición de NIR* no es imprimible (es decir, la frase es verdadera si y
sólo si la repetición de NIR* no es imprimible). Pero la repetición de NIR*
es la misma frase NIR*NIR*. Esta frase es verdadera si y sólo si no es
imprimible. Si la frase es falsa, entonces ES imprimible (puesto que la
frase dice que no lo es), lo que significaría que la máquina es capaz de
imprimir una frase falsa. Así que debe ser que la frase es verdadera, de
ahí que lo que dice se cumple, lo que significa que no es imprimible. Así,
la frase NIR*NIR* debe ser cierta, pero la máquina no puede imprimirla.
El filósofo J. Michael Dunn demostró una vez este problema a su hijo, Jon.
Cuando lo comprendió, dijo a su padre: "Me gustaría saber una cosa. ¿Para
qué querría nadie construir una máquina como esa?" Después de pensarlo un
poco contestó: "Bueno, sería bonito tener una máquina que pudiera imprimir
todos los hechos verdaderos del mundo. Parece que una máquina así es
imposible."
La cuestión está en que ninguna máquina precisa puede imprimir una frase
que dice que la máquina no puede imprimirla. ¡En el mismo proceso de
imprimirla, la máquina la falsificaría!
Reemplacen la palabra "imprimible" por "demostrable" y tendrán una idea
del teorema de la incompletitud de Gödel. Reemplacen "máquina" por
"computadora" y tendrán una idea de como relacionar esto con
la inteligencia artificial.
